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關(guān)于這“短期容易、長(zhǎng)期較難的道路”，上帝是慈悲的，令這路可期盼；上帝是智慧的，讓這路不簡(jiǎn)單。

概 述

有新聞?wù)f美國(guó)iPhone用戶忠誠(chéng)度沒(méi)Android高，但該國(guó)iPhone的占有率卻是在上漲。

兩個(gè)數(shù)據(jù)都是“真實(shí)”，原因何在？

辛普森悖論揭示了數(shù)據(jù)會(huì)說(shuō)謊的秘密。

本文最后少不了來(lái)一碗實(shí)用主義的雞湯，扯了一下“懷才不遇”的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，和逆向運(yùn)用辛普森悖論的人生第三條路。

01

意外嗎？統(tǒng)計(jì)顯示iPhone用戶忠誠(chéng)度沒(méi)Android高。

據(jù)CIRP分享的最新統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，截至9月份的前12個(gè)月，（美國(guó)市場(chǎng)）Android用戶的忠誠(chéng)度（用戶留存率）為92%，而iOS則是89%。

據(jù)了解，CIRP的季度統(tǒng)計(jì)以500名真實(shí)消費(fèi)者為樣本。

我好奇查了一下，CIRP公布了2017年Q4美國(guó)智能手機(jī)市場(chǎng)，iPhone的市場(chǎng)份額達(dá)39%，與2016年四季度的34%相比，同比增長(zhǎng)了5%。由上圖我們也可以看到，自2017年底以來(lái)，iOS用戶的忠誠(chéng)度是持續(xù)上升的。

既然iPhone用戶更不忠誠(chéng)，投奔Android陣營(yíng)的人不該更多嗎？為何市場(chǎng)份額不降反升？

這里的確會(huì)有一個(gè)令人“疑惑”之處。

讓我們簡(jiǎn)單算一下：

1. 500個(gè)用戶，按照最新市場(chǎng)份額，iPhone用戶有195人，Android用戶有305人；
2. Android用戶的忠誠(chéng)度（用戶留存率）為92%，而iOS則是89%。所以叛逃率分別為8%和11%；
3. 按此計(jì)算，Android用戶叛逃了305*8%=24.4人，iPhone用戶叛逃了195*11%=21.45人。

所以，真相是，盡管所謂“忠誠(chéng)度”更低，但iPhone用戶的凈流入人數(shù)還是更多。

02

這讓我想起了以前曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)的辛普森悖論。

斯坦福講義里的例子：某大學(xué)歷史系和地理系招生，共有13男13女報(bào)名。歷史系5男報(bào)名錄取1男，8女報(bào)名錄取2女。地理系8男報(bào)名錄取6男，5女報(bào)名錄取4女。

• 歷史系：1/5（男） < 2/8 （女）
• 地理系：6/8（男） < 4/5 （女）

合 計(jì)：7/13（男）> 6/13 （女）

上面的數(shù)據(jù)給出一個(gè)令人迷惑的結(jié)論：盡管每個(gè)系女生的錄取率都更高，但整體算下來(lái)男生的錄取率卻更高。

1. 每個(gè)系的女生的錄取率卻都高于男生錄取率

歷史系女生的錄取率（2/8）大于男生錄取率（1/5）；地理系女生錄取率（4/5）也高于男生錄取率（6/8）。

2. 整個(gè)學(xué)校統(tǒng)計(jì)，男生錄取率（7/13）高于女生錄取率（6/13）

當(dāng)人們嘗試探究?jī)煞N變量(比如新生錄取率與性別)是否具有相關(guān)性的時(shí)候，會(huì)分別對(duì)之進(jìn)行分組研究。然而，在分組比較中都占優(yōu)勢(shì)的一方，在總評(píng)中有時(shí)反而是失勢(shì)的一方。該現(xiàn)象于20世紀(jì)初就有人討論，但一直到1951年，E.H.辛普森在他發(fā)表的論文中闡述此一現(xiàn)象后，該現(xiàn)象才算正式被描述解釋。后來(lái)就以他的名字命名此悖論，即辛普森悖論。

關(guān)于上題“錄取率”，倒過(guò)來(lái)想容易很多，歷史系女生被淘汰6人，男生被淘汰4人。地理系女生被淘汰1人，男生被淘汰2人。男生在基數(shù)較大的歷史系申請(qǐng)人群中，絕對(duì)錄取數(shù)更多，從而令整體淘汰率更低。

為了避免辛普森悖論出現(xiàn)，就需要斟酌個(gè)別分組的權(quán)重，以一定的系數(shù)去消除以分組資料基數(shù)差異所造成的影響，同時(shí)必需了解該情境是否存在其他潛在要因而綜合考慮。

• 關(guān)于基數(shù)差異所帶來(lái)的相關(guān)思考；
• 另外一種基數(shù)差異所帶來(lái)的認(rèn)知陷阱，就是卡尼曼和特維爾斯基提出的“基礎(chǔ)概率謬誤”（Base Rate Fallacy）。

03

《簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)學(xué)》里寫(xiě)道：混雜因素常常出現(xiàn)在使用觀測(cè)性數(shù)據(jù)的研究中，因?yàn)槿藗儫o(wú)法通過(guò)現(xiàn)實(shí)的方法使這些因素維持恒定。

所以，我們應(yīng)該牢記：一項(xiàng)研究的結(jié)論有可能受到混雜因素的干擾。

該書(shū)作者加里.史密斯說(shuō)，辛普森悖論實(shí)際上是更早時(shí)候由兩位統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的。

辛普森悖論指的是：當(dāng)聚合數(shù)據(jù)被分解時(shí)其中的模式發(fā)生逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。

該書(shū)還舉了幾個(gè)有趣的例子：

（1）阿拉斯加航空公司在五個(gè)存在競(jìng)爭(zhēng)的主要機(jī)場(chǎng)，擁有優(yōu)于另一家航空公司的準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)行記錄，但其總體準(zhǔn)點(diǎn)記錄則不如競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，為什么？

因?yàn)榘⒗辜雍娇論碛性S多飛往西雅圖的航班，而西雅圖的天氣問(wèn)題經(jīng)常導(dǎo)致飛機(jī)延誤 。

（2）對(duì)于每個(gè)年齡群體，瑞典的女性死亡率都要低于哥斯達(dá)黎加，但瑞典擁有更高的女性總體死亡率，為什么？

因?yàn)槿鸬鋼碛懈嗟睦夏昱?（老年人擁有相對(duì)較高的死亡率 ） 。

（3）一項(xiàng)醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一種手術(shù)對(duì)于小型和大型腎結(jié)石的治療成功率均高于另一種手術(shù)，但其總體成功率卻不如另一種手術(shù)，為什么 ？

因?yàn)樗?jīng)常被用于治療大型腎結(jié)石（大型腎結(jié)石的治療成功率相對(duì)較低 ） 。

以上例子之所以存在辛普森悖論，是因?yàn)槟撤N混雜因素對(duì)聚合數(shù)據(jù)產(chǎn)生了影響 。更值得學(xué)習(xí)的是，加里.史密斯寫(xiě)道：這并不意味著分解數(shù)據(jù)永遠(yuǎn)優(yōu)于聚合數(shù)據(jù) ，舉例如下：

在下表中，對(duì)兩個(gè)假想的棒球選手進(jìn)行了比較，將數(shù)據(jù)分解成了單日和雙日。例如 ：科里在雙日的 1 0 0次擊球中擊出 2 0個(gè)安打 ，安打率為 2 0 / 1 0 0 = 0 . 2 0 0 。

在這些編造出來(lái)的數(shù)據(jù)中 ，兩名選手恰巧在單日擁有更好的表現(xiàn) ，科里恰巧在單日擁有更多的擊球次數(shù) 。因此 ，雖然吉米在單雙日都具有更高的安打率 ，但是整個(gè)賽季安打率更高的人是科里 。

根據(jù)這些數(shù)據(jù) ，你認(rèn)為誰(shuí)是更好的擊球手 ？

正確答案是：科里。因?yàn)槲覀儧](méi)有理由認(rèn)為單雙日是一個(gè)有意義的混雜因素 ，這只是數(shù)據(jù)中的一種巧合而已 。

在此情況下，聚合數(shù)據(jù)可以更加準(zhǔn)確地衡量誰(shuí)是更好的擊球手 。

04

下面介紹一個(gè)更“實(shí)戰(zhàn)”的案例，這段內(nèi)容來(lái)自“數(shù)數(shù)科技”（公眾號(hào)：ThinkingData）。

這個(gè)例子其實(shí)是倒過(guò)來(lái)說(shuō)辛普森悖論：總評(píng)中占優(yōu)勢(shì)的，在每個(gè)分組比較中反而都占劣勢(shì)。

工作中的典型案例：

某產(chǎn)品的用戶中有10000人使用Android設(shè)備、5000人使用iOS設(shè)備，整體的付費(fèi)轉(zhuǎn)化率應(yīng)該是5%。細(xì)分發(fā)現(xiàn)其中IOS設(shè)備的轉(zhuǎn)化率僅為4%，而Android設(shè)備則是5.5%。“聰明”的數(shù)據(jù)分析師得出結(jié)論：iOS平臺(tái)的用戶付費(fèi)轉(zhuǎn)化率低下，建議放棄IOS平臺(tái)的研發(fā)。

一般來(lái)說(shuō)，iOS平板的付費(fèi)轉(zhuǎn)化率比Android平板高出很多，而iOS手機(jī)的轉(zhuǎn)化率也相對(duì)更好。這種情況下，設(shè)備類型就是復(fù)雜變量，如果數(shù)據(jù)是根據(jù)設(shè)備類型得到，那么其他的數(shù)據(jù)就可能被完全忽略。

接下來(lái)我們來(lái)對(duì)比這一組數(shù)據(jù)：

由此可見(jiàn)，Android設(shè)備轉(zhuǎn)化率無(wú)論在平板端還是在手機(jī)端的轉(zhuǎn)化率都小于iOS設(shè)備，這也跟我們的常規(guī)預(yù)期相符。

當(dāng)計(jì)算全設(shè)備情況時(shí)，Android的轉(zhuǎn)化比例為550/10000=5.5%，iOS的轉(zhuǎn)化比例只有200/5000=4.0%。這也是題中“聰明”的數(shù)據(jù)分析師得出iOS版本應(yīng)該下線的根源。

原因與應(yīng)對(duì)策略：誤區(qū)產(chǎn)生的原因說(shuō)起來(lái)也很簡(jiǎn)單，就在于將“值與量”兩個(gè)維度的數(shù)據(jù)，歸納成了“值”一個(gè)維度的數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了合并。

（從上上圖我們可以看到，基數(shù)較大的Android平板把“整體轉(zhuǎn)化率”的數(shù)據(jù)帶偏了。）

如果要避免“辛普森悖論”給我們帶來(lái)的誤區(qū)，就需要斟酌個(gè)別分組的權(quán)重，以一定的系數(shù)去消除因分組資料基數(shù)差異所造成的影響。而在實(shí)際轉(zhuǎn)化例子中，就需要用如“ARPU”、“ARPPU”這樣看似相似實(shí)際上有很大差異的指標(biāo)來(lái)進(jìn)行分割。

同樣地，如果要更客觀分析產(chǎn)品的運(yùn)營(yíng)情況，就需要設(shè)立更多角度去綜合評(píng)判。還是拿上述的設(shè)備轉(zhuǎn)化率為例，產(chǎn)品層考慮轉(zhuǎn)化的前提會(huì)優(yōu)先考慮分發(fā)量、用戶量、運(yùn)營(yíng)思路、口碑等等。而往往為了實(shí)現(xiàn)最后的轉(zhuǎn)化需要，需要更多前置目標(biāo)做鋪墊。

A/B測(cè)試中的注意點(diǎn)：

聯(lián)想到產(chǎn)品運(yùn)營(yíng)的實(shí)踐，一個(gè)常見(jiàn)的A/B測(cè)試誤判例子是這樣的：拿1%用戶跑了一個(gè)重大版本，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)版本購(gòu)買率比對(duì)照版本高，就說(shuō)試驗(yàn)版本更好，我們應(yīng)該發(fā)布試驗(yàn)版本。

而事實(shí)上，我們選取的試驗(yàn)組里往往會(huì)挑選那些樂(lè)于交流、熱衷產(chǎn)品、又或者是付費(fèi)率高粘性高的用戶，把他們的數(shù)據(jù)與全體用戶對(duì)比是不客觀的。當(dāng)最后發(fā)布試驗(yàn)版本時(shí)，反而可能降低用戶體驗(yàn)，甚至造成用戶留存和營(yíng)收數(shù)據(jù)的雙雙下降。

收獲與總結(jié)：

避免辛普森悖論的關(guān)鍵是要同時(shí)參考不同用戶間的事實(shí)全貌。

• 第一，準(zhǔn)確的用戶分群在數(shù)據(jù)分析中是非常重要的，尤其是在免費(fèi)產(chǎn)品當(dāng)中，平均用戶不僅不存在，而且是誤導(dǎo)研發(fā)的因素之一，所以關(guān)鍵在于利用特征將用戶進(jìn)行合理劃分。
• 第二，在一個(gè)具體的產(chǎn)品中，普適型的數(shù)據(jù)（如粗暴的對(duì)比IOS和Android總體情況）是沒(méi)有多大參考意義的，一定要細(xì)分到具體設(shè)備、國(guó)家、獲取渠道、消費(fèi)能力等等再進(jìn)行比對(duì)才有價(jià)值。
• 第三，斟酌個(gè)別分組的權(quán)重，以一定的系數(shù)去消除以分組資料基數(shù)差異所造成的影響，同時(shí)必需了解該情境是否存在其他潛在要因而綜合考慮。

05

我們認(rèn)為數(shù)據(jù)科學(xué)家和分析師是客觀的，但數(shù)據(jù)可能會(huì)撒謊，如西諺所言：“通往地獄的道路是用好意鋪就的”。

亞馬遜歐洲商業(yè)智能部門(mén)負(fù)責(zé)人、資深數(shù)據(jù)科學(xué)家KarolisUrbonas，研究了數(shù)據(jù)科學(xué)家們應(yīng)該知道的三種常見(jiàn)的“謊言”。

以下是引用他的觀點(diǎn)：

1. 平均無(wú)處不在的平均值

平均值這種過(guò)度使用的聚合度量造成了無(wú)處不在的謊言，無(wú)論何時(shí)使用平均指標(biāo)–除非底層數(shù)據(jù)正常分布（這種狀況很少出現(xiàn)）——平均值都無(wú)法反應(yīng)現(xiàn)實(shí)的任何有用信息。當(dāng)數(shù)據(jù)分布偏斜時(shí)，平均值將受到影響，沒(méi)有任何意義。平均值不是一個(gè)強(qiáng)大度量工具，容易受到異常值與正態(tài)分布有偏差的影響。

2. 將數(shù)據(jù)擬合為假設(shè)–證實(shí)性偏見(jiàn)

如果數(shù)據(jù)科學(xué)家不得不快速得到結(jié)果，他們不得不快速回答或者解決問(wèn)題，這意味著他們會(huì)把發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)雜散相關(guān)就當(dāng)做答案。在這些情況下，數(shù)據(jù)科學(xué)家搜索證據(jù)以確認(rèn)假設(shè)，即“為假設(shè)尋找數(shù)據(jù)”。

3. 并不存在的模式

人類的大腦善于在混亂中發(fā)現(xiàn)模式或圖案–有時(shí)，它們開(kāi)始發(fā)現(xiàn)并不存在的模式，這是數(shù)據(jù)科學(xué)家的致命陷阱。

說(shuō)到數(shù)據(jù)會(huì)說(shuō)謊，最有欺騙性的的例子莫過(guò)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中著名的辛普森悖論了，正如前面兩段所提及的。

06

假如我們的工作與數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，辛普森悖論有何意義呢？

辛普森悖論就像是欲比賽100場(chǎng)籃球以總勝率評(píng)價(jià)好壞，于是有人專找高手挑戰(zhàn)20 場(chǎng)而勝1場(chǎng)，另外80場(chǎng)找平手挑戰(zhàn)而勝40場(chǎng)，結(jié)果勝率41%，另一人則專挑高手挑戰(zhàn)80場(chǎng)而勝8場(chǎng)，而剩下20場(chǎng)平手打個(gè)全勝，結(jié)果勝率為28%，比 41%小很多，但仔細(xì)觀察挑戰(zhàn)對(duì)象，后者明顯較有實(shí)力。

——百度百科

量與質(zhì)是不等價(jià)的，無(wú)奈的是量比質(zhì)來(lái)得容易量測(cè)，所以人們總是習(xí)慣用量來(lái)評(píng)定好壞，而此數(shù)據(jù)卻不是重要的。

除了質(zhì)與量的迷思之外，辛普森悖論的另外一個(gè)啟示是：

如果我們?cè)谌松木駬裆线x擇了一條比較難走的路，就得要有可能不被賞識(shí)的領(lǐng)悟，所以這算是懷才不遇這個(gè)成語(yǔ)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的詮釋。

關(guān)于道路難易的選擇，有三種人生路線：

（1）較難的道路

例如愛(ài)因斯坦，他說(shuō)，科學(xué)研究好像鉆木板，有人喜歡鉆薄的，而我喜歡鉆厚的。類似的職業(yè)有科學(xué)家、首富、體育冠軍、明星基金經(jīng)理、超級(jí)巨星，等等。

這類道路，獲勝概率極低，付出代價(jià)極大。也容易落入“懷才不遇”的境地。當(dāng)然，在一個(gè)富足的、有安全感的社會(huì)里，會(huì)有更多的人選擇這條路。期待我們亦如是。

此謂：Think big！

（2）較容易的道路

平凡之路，是你我普通人主動(dòng)、或者被動(dòng)的選擇。過(guò)過(guò)日子，陪好家人，自得其樂(lè)，不危害社會(huì)，也沒(méi)啥不好。比較是萬(wàn)惡之源，這條道路上的人的絕大多數(shù)苦惱，來(lái)自與第一條道路人士的比較。

（3）短期容易長(zhǎng)期較難的道路

這種道路眼下看起來(lái)并不難，人人可以走，但最終堅(jiān)持下來(lái)的卻極少。

巴菲特在1989年給股東的信里寫(xiě)道：

我們之所以能夠獲得現(xiàn)在這樣的成功，是因?yàn)槲覀兛偸菍Ｗ⒂诎l(fā)現(xiàn)那些一英尺高的，我們能夠跨越的障礙，而不是因?yàn)槲覀儷@得了什么能夠一舉越過(guò)七英尺的能力。

雖然說(shuō)起來(lái)似乎有點(diǎn)不公平，但是無(wú)論在經(jīng)營(yíng)還是投資當(dāng)中，往往都是堅(jiān)持那些簡(jiǎn)單和顯而易見(jiàn)的東西比解決難題更賺錢。如同上面的“辛普森悖論”里提及的籃球比賽，長(zhǎng)期投資這類事，是可以繞開(kāi)“專挑高手挑戰(zhàn)”之路的。

在某種意義上，價(jià)值投資，長(zhǎng)線思維，其實(shí)是逆向運(yùn)用了“辛普森悖論”，找到高確定性的小目標(biāo)，看起來(lái)“分組比較”中沒(méi)什么優(yōu)勢(shì)，但利用時(shí)間的魔力，最終實(shí)現(xiàn)了總體統(tǒng)計(jì)上的最高回報(bào)。

選擇較容易的“一英尺高的橫桿”，去找平手挑戰(zhàn)籃球，并非逃避難題，專挑軟柿子捏，而是為了實(shí)現(xiàn)可重復(fù)、可持續(xù)的事情。只有在更少的、更重要的變量分析上持續(xù)做到最好，才是提高整體投資回報(bào)確定性與大概率的最簡(jiǎn)單、最樸素的方法。

此謂：Thinklong！

最終，正確的Long，都將變成Big。

最后

第三條道路，其實(shí)是前兩條道路的混合。其短期看起來(lái)是第二條路，長(zhǎng)期看起來(lái)是第一條路。

對(duì)比“較難的道路”，理論上這條路普通人也有指望。在這條道路上，要取得非凡的成果，沒(méi)有必要非得做非凡的事情。但，反之，僅靠平庸的疊加，不管你多么拼命、堅(jiān)持，也未必能夠取得非凡的成果。

這其中需要天賦、勇氣、努力、熱愛(ài)、意志、運(yùn)氣和夢(mèng)想。

深究下去，第二條路上的人，就條件而言與第三條路上的人并無(wú)二致。對(duì)于絕大多數(shù)資質(zhì)平庸的世人，第二條路是生活的常態(tài)，第三條路是生活的希望。辛普森悖論是兩條路之間神秘鏈接的一種。

關(guān)于這“短期容易、長(zhǎng)期較難的道路”，上帝是慈悲的，令這路可期盼；上帝是智慧的，讓這路不簡(jiǎn)單。

作者：老喻在加，公眾號(hào)：孤獨(dú)大腦（ID：lonelybrain）

本文由 @老喻在加 原創(chuàng)發(fā)布于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理。未經(jīng)許可，禁止轉(zhuǎn)載

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