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在廣告拍賣(mài)里，它不能保證每次競(jìng)拍使得拍賣(mài)者的收益最大化，現(xiàn)在我們來(lái)探討下如何選擇機(jī)制才能使得每次收益最大化，這種機(jī)制被稱為最優(yōu)機(jī)制。

拍賣(mài)有兩個(gè)目標(biāo)：賣(mài)者收益和社會(huì)效用，不同目標(biāo)決定選擇不同的機(jī)制，不同機(jī)制導(dǎo)致了競(jìng)拍人獲得物品的不同概率函數(shù)和期望支付，以及該機(jī)制下的特性，比如激勵(lì)兼容、個(gè)人理性預(yù)算平衡等。

在廣告系列，機(jī)制設(shè)計(jì)里我們說(shuō)到在直接機(jī)制中，滿足激勵(lì)兼容特性的機(jī)制鼓勵(lì)廣告主說(shuō)真話（b=v）是一個(gè)弱占有策略（U≥U’），會(huì)形成一個(gè)真實(shí)均衡，廣告主會(huì)持續(xù)參與競(jìng)價(jià)，有利于廣告生態(tài)的長(zhǎng)期發(fā)展。

但有個(gè)現(xiàn)象：它不能保證每次競(jìng)拍使得拍賣(mài)者的收益最大化，現(xiàn)在我們來(lái)探討下如何選擇機(jī)制才能使得每次收益最大化，這種機(jī)制被稱為最優(yōu)機(jī)制。

假設(shè)條件不變：

一個(gè)不可分割的單品拍賣(mài)，潛在買(mǎi)家數(shù)量為??，買(mǎi)家??對(duì)物品的估價(jià)為??（假設(shè)買(mǎi)家知道拍賣(mài)品對(duì)自己的價(jià)值，不受其他買(mǎi)家影響，稱為私有價(jià)值），賣(mài)家不知道買(mǎi)家的真實(shí)估值，但知道買(mǎi)家估價(jià)的累計(jì)分布函數(shù)??,及連續(xù)密度函數(shù)??，??相互獨(dú)立，假設(shè)??的范圍??，??。

現(xiàn)在構(gòu)造一個(gè)估價(jià)V的函數(shù)如下：

稱為買(mǎi)家的虛擬估價(jià)函數(shù)，假設(shè)Y是關(guān)于V的遞增函數(shù)，此時(shí)我們稱之為常規(guī)問(wèn)題。

分配規(guī)則：

價(jià)高者得，此時(shí)的價(jià)指買(mǎi)家虛擬估價(jià)的價(jià)格，即把拍賣(mài)品分配給虛擬估價(jià)最高的競(jìng)拍者。因?yàn)闆](méi)有假設(shè)買(mǎi)家是對(duì)稱的，所以不同買(mǎi)家有不同的虛擬估價(jià)函數(shù)，不同函數(shù)的斜率可能不同，估價(jià)最高的買(mǎi)家虛擬估價(jià)不一定是最高的，所以說(shuō)在最優(yōu)機(jī)制下的拍賣(mài)不是一個(gè)公平的機(jī)制。

支付規(guī)則：

二價(jià)結(jié)算，假設(shè)買(mǎi)家??的虛擬估價(jià)最高，那么此時(shí)買(mǎi)家??的支付為：?。
其中??是買(mǎi)家??虛擬估價(jià)函數(shù)的反函數(shù)，?是除買(mǎi)家??以外虛擬估價(jià)最高者，稱該機(jī)制是不帶保留價(jià)的最優(yōu)機(jī)制。

下面我們用具體圖形展示會(huì)更加直觀，假設(shè)有兩個(gè)買(mǎi)家1和買(mǎi)家2，虛擬估價(jià)函數(shù)分別如下所示，當(dāng)他們的估價(jià)分別是??時(shí)，買(mǎi)家1的估價(jià)函數(shù)斜率更大，函數(shù)對(duì)估價(jià)的變動(dòng)更敏感，則?。

如下圖所示：

對(duì)于廣告系統(tǒng)而言，廣告主1的支付價(jià)格不是，因?yàn)閺V告是按照ECPM來(lái)競(jìng)價(jià)的，我們現(xiàn)在反推一下競(jìng)價(jià)勝出的廣告主應(yīng)該支付的實(shí)際價(jià)格，假設(shè)按照點(diǎn)擊計(jì)費(fèi)（cpc），pCTR是預(yù)估點(diǎn)擊率，那么買(mǎi)家 i 的競(jìng)價(jià)值為：

買(mǎi)家2的競(jìng)價(jià)值為：

假設(shè)??，則買(mǎi)家1獲得該次曝光，買(mǎi)家1的點(diǎn)擊支付的實(shí)際價(jià)格為：

其中，??是買(mǎi)家1虛擬估價(jià)的反函數(shù)。

廣告的實(shí)際計(jì)費(fèi)的計(jì)算雖然多了一步，但是本質(zhì)沒(méi)變，從上圖1中我們可以看出，買(mǎi)家2的估價(jià)更高但是物品被分配給了買(mǎi)家1，顯然不是一個(gè)公平的競(jìng)價(jià)環(huán)境，也不是一個(gè)有效的拍賣(mài)，這涉及到了價(jià)格歧視。

看人下菜碟，知道你是個(gè)有錢(qián)的主，你要同樣的東西就得比別人多出錢(qián)，怎么知道你是個(gè)有錢(qián)的？

這就基于系統(tǒng)對(duì)你過(guò)往的理解，歷史數(shù)據(jù)的收集，通過(guò)建模擬合出來(lái)你的估價(jià)分布函數(shù)，有些大數(shù)據(jù)殺熟的意思，直覺(jué)上給人感覺(jué)很不公平，不過(guò)在現(xiàn)實(shí)生活中價(jià)格歧視無(wú)處不在。

比如工業(yè)用電和居民用電價(jià)格就不同（三級(jí)歧視），出租車分公里數(shù)階梯計(jì)費(fèi)以及個(gè)人稅分階梯計(jì)費(fèi)（二級(jí)歧視），壟斷廠商不同買(mǎi)者不同價(jià)格（一級(jí)歧視）比比皆是，可是為什么采用虛擬估價(jià)函數(shù)的時(shí)候賣(mài)者的收益就最大化了呢，這涉及到經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)解釋，我們下節(jié)聊。

本文由 @莫菲克 原創(chuàng)發(fā)布于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理。未經(jīng)許可，禁止轉(zhuǎn)載

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