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廣告系列：保留價(jià)

知乎-莫菲克

2020-06-15

1 評(píng)論 3774 瀏覽 19 收藏

15 分鐘

在一次拍賣中如果所有買家的報(bào)價(jià)均小于賣家的估價(jià)時(shí)，則拍賣品不出售由賣家保留，此時(shí)賣家的估價(jià)就是保留價(jià)，也叫底價(jià)，全稱市場保留價(jià)。對于賣家來說，保留價(jià)的設(shè)置保障了自身利益，那么對于拍賣整體來講，保留價(jià)的設(shè)置有什么影響？

一、賣家設(shè)置保留價(jià)的原因是什么？

1. 不想虧本

對于賣家而言拍賣的東西本身具有一定的價(jià)值(成本 $c$ )，如果在低于該價(jià)值的價(jià)格出售( $p$ )，則此時(shí)賣家的效用： $u=p-c＜0$

基于個(gè)人理性假設(shè)，賣家此時(shí)選擇保留拍賣品，這里引出拍賣的一個(gè)基本假設(shè)：個(gè)人理性，當(dāng)拍賣雙方都不參與拍賣時(shí)，收益為 $0$ ，支出為 $0$ ，效用： $u=0-0=0$

發(fā)生拍賣的前提條件是對所有參與人都有利可圖，即 $u_{i}≥0$

另一個(gè)基本假設(shè)是在《廣告系列：機(jī)制設(shè)計(jì)》里提到過的激勵(lì)兼容(說真話保障廣告系統(tǒng)的持續(xù)發(fā)展)。

2. 為了增加拍賣時(shí)競價(jià)環(huán)境的激烈程度，保障賣家收益

尤其是在合作博弈中，買者之間存在合謀(競價(jià)環(huán))，通過合作不斷降低報(bào)價(jià)增加了環(huán)中的買家收益，環(huán)的運(yùn)作不會(huì)影響環(huán)外買家的獲得物品的概率函數(shù)及期望支付，環(huán)中增加的收益來自賣家的損失，此時(shí)賣家可以借助保留價(jià)的機(jī)制來對抗競價(jià)環(huán)。

二、設(shè)置保留價(jià)對拍賣的整體的影響是什么？

1. 拍賣可能不再有效

設(shè)置保留價(jià)后賣家可能會(huì)保留拍賣品，沒有分配給估價(jià)最高的買家，此時(shí)拍賣不再有效，影響了拍賣的社會(huì)效應(yīng)，當(dāng)然如果是基于私有價(jià)值的拍賣那么不會(huì)有太多人在意；

2. 競得者的支付函數(shù)可能發(fā)生變化

當(dāng)只有一名買家的報(bào)價(jià)高于保留價(jià)時(shí)，在廣義二價(jià)中，保留價(jià)將會(huì)改變獲勝者的支付價(jià)格，假設(shè)買家 $i$ 報(bào)價(jià) $b_{i}$ ： $b_{i}＞b_{j≠i}$ ，且 $b_{i}≥r$

除獲勝者以外最高報(bào)價(jià)記為： $maxb_{j≠i}=b_{-i}＜r$

沒有保留價(jià)時(shí)勝者支付： $p_{i}=b_{-i}$

有保留價(jià)時(shí)則支付： $p_{i}=MAX(b_{-i},r)$

此時(shí)賣家收益增加。

3. 保留價(jià)有諸多好處，賣家在具體某次拍賣中如何設(shè)置保留價(jià)

定價(jià)太高則拍賣品賣不出去，此時(shí)賣家效用為 $u=0$ ；定價(jià)太低在競價(jià)不充分時(shí)則買家 $i$ 可能以很低的價(jià)格獲得物品，此時(shí)賣家效用 $u$ 沒有達(dá)到預(yù)期。

對于廣告系統(tǒng)而言，粗一些的做法是根據(jù)廣告主們的歷史競價(jià)情況，取一個(gè)使填充率沒有明顯下降的固定值作為保留價(jià)，相對比較簡單，一定程度上也可以防止廣告主無限下探出價(jià)，降低平臺(tái)收益；精細(xì)一些就是針對不同廣告主設(shè)置不同的動(dòng)態(tài)底價(jià)，這對數(shù)據(jù)和模型的要求比較高，當(dāng)然廣告平臺(tái)的收益也會(huì)相應(yīng)增加，有本事多賺錢的道理，計(jì)算方法涉及到我們虛擬估價(jià)。

從計(jì)算上講，動(dòng)態(tài)保留價(jià)與固定保留價(jià)相比，主要差別在于針對不同的廣告主設(shè)置不同的價(jià)格上，更加精細(xì)，千人千面就需要了解廣告主的特性及對廣告曝光的估價(jià)分布。

在《廣告系列：最優(yōu)機(jī)制》里，我們提出最優(yōu)機(jī)制的拍賣時(shí)競價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)不是廣告主估價(jià)而是虛擬估價(jià)，并且解釋了為什么使用虛擬估價(jià)代替估價(jià)的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，它代表了賣家的邊際收益，在一次單品拍賣中把物品配置給邊際收益最高者，里面有個(gè)隱含假設(shè)：

最高的虛擬估價(jià)高于保留價(jià)，即： $Y≥V_{0}=r$

其中， $V_{0}$ 代表賣家對物品的估價(jià)，即保留價(jià) $r$ ，同時(shí)也是賣家的成本。

在求動(dòng)態(tài)保留價(jià)時(shí)，我們令 $Y=r$ ，即： $v-(1-F)/f=r$

解出上式中的： $v^{*}$ ，就得到針對該買家的動(dòng)態(tài)保留價(jià)，從上式可以看出要解出等式必須知道 $f(v)$ ，即買家估價(jià)的密度函數(shù)，這個(gè)前提與最優(yōu)機(jī)制時(shí)是一致的：

4. 不知道各個(gè)買家的估價(jià)分布無法針對性的設(shè)置保留價(jià)和最優(yōu)機(jī)制來最大化賣家收益

這里可能會(huì)有個(gè)疑問為什么令 $Y=r$ ，解出來的 $v^{*}$ 就代表了動(dòng)態(tài)保留價(jià)，下面我們說下經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋。

從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度，隨著物品供給量不斷增加時(shí)，邊際收益遞減，邊際成本遞增，當(dāng) $MR=MC$ ，企業(yè)利潤最大化。在單品拍賣中，虛擬估價(jià) $Y$ 代表邊際收益，保留價(jià) $r$ 代表邊際成本，

令 $Y=r$ ，即 $Y=MR=MC=r$ ，此時(shí)賣家利潤最大。

又因?yàn)閺V告拍賣的是曝光，有區(qū)別與其他拍賣品，不能長期儲(chǔ)存，過后即廢，所以在實(shí)際操作中有時(shí)令 $r=MC=0$

此時(shí)上式變?yōu)椋?img data-action="zoom" class="alignnone" src="https://www.zhihu.com/equation?tex=v-%281-F%29%2Ff%3D0" alt="v-(1-F)/f=0" />，即： $v^{*}=(1-F)/f$ ，可得買家的動(dòng)態(tài)保留價(jià)。