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在數(shù)學(xué)建模中常用的方法：類(lèi)比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數(shù)據(jù)擬合法、回歸分析法、數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）、機(jī)理分析、排隊(duì)方法、對(duì)策方法、決策方法、模糊評(píng)判方法、時(shí)間序列方法、灰色理論方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

用這些方法可以解下列一些模型：優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計(jì)模型、概率模型、圖論模型、決策模型。

擬合與插值方法（給出一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，確定滿(mǎn)足特定要求的曲線或者曲面，從而反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)）： matlab可以實(shí)現(xiàn)一元函數(shù)，包括多項(xiàng)式和非線性函數(shù)的擬合以及多元函數(shù)的擬合，即回歸分析，從而確定函數(shù)； 同時(shí)也可以用matlab實(shí)現(xiàn)分段線性、多項(xiàng)式、樣條以及多維插值。

在優(yōu)化方法中，決策變量、目標(biāo)函數(shù)（盡量簡(jiǎn)單、光滑）、約束條件、求解方法是四個(gè)關(guān)鍵因素。其中包括無(wú)約束規(guī)則（用fminserch、fminbnd實(shí)現(xiàn)）線性規(guī)則（用linprog實(shí)現(xiàn)）非線性規(guī)則、（ 用fmincon實(shí)現(xiàn)）多目標(biāo)規(guī)劃（有目標(biāo)加權(quán)、效用函數(shù)）動(dòng)態(tài)規(guī)劃（倒向和正向）整數(shù)規(guī)劃。

回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，用來(lái)近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法 （一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸），回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個(gè)問(wèn)題：建立因變量與自變量之間的回歸模型（經(jīng)驗(yàn)公式）；對(duì)回歸模型的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)；判斷每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響是否顯著；判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對(duì)進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制。相對(duì)應(yīng)的有 線性回歸、多元二項(xiàng)式回歸、非線性回歸。

逐步回歸分析：從一個(gè)自變量開(kāi)始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個(gè)引入回歸方程：當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉；引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步；對(duì)于每一步都要進(jìn)行值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)作用顯著的變量；這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直至既無(wú)不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無(wú)顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止。（主要用SAS來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用matlab軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)）。

聚類(lèi)分析：所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設(shè)法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計(jì)量作為分類(lèi)的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進(jìn)行分類(lèi)。

系統(tǒng)聚類(lèi)分析—將n個(gè)樣本或者n個(gè)指標(biāo)看成n類(lèi)，一類(lèi)包括一個(gè)樣本或者指標(biāo)，然后將性質(zhì)最接近的兩類(lèi)合并成為一個(gè)新類(lèi)，依此類(lèi)推。最終可以按照需要來(lái)決定分多少類(lèi)，每類(lèi)有多少樣本（指標(biāo)）。

系統(tǒng)聚類(lèi)方法步驟：

計(jì)算n個(gè)樣本兩兩之間的距離

構(gòu)成n個(gè)類(lèi)，每類(lèi)只包含一個(gè)樣品

合并距離最近的兩類(lèi)為一個(gè)新類(lèi)

計(jì)算新類(lèi)與當(dāng)前各類(lèi)的距離（新類(lèi)與當(dāng)前類(lèi)的距離等于當(dāng)前類(lèi)與組合類(lèi)中包含的類(lèi)的距離最小值），若類(lèi)的個(gè)數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)3

畫(huà)聚類(lèi)圖

決定類(lèi)的個(gè)數(shù)和類(lèi)。

判別分析：在已知研究對(duì)象分成若干類(lèi)型，并已取得各種類(lèi)型的一批已知樣品的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準(zhǔn)則建立判別式，然后對(duì)未知類(lèi)型的樣品進(jìn)行判別分類(lèi)。

距離判別法—首先根據(jù)已知分類(lèi)的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類(lèi)的重心，計(jì)算新個(gè)體到每類(lèi)的距離，確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）

Fisher判別法—利用已知類(lèi)別個(gè)體的指標(biāo)構(gòu)造判別式（同類(lèi)差別較小、不同類(lèi)差別較大），按照判別式的值判斷新個(gè)體的類(lèi)別

Bayes判別法—計(jì)算新給樣品屬于各總體的條件概率，比較概率的大小，然后將新樣品判歸為來(lái)自概率最大的總體

模糊數(shù)學(xué)：研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其對(duì)立面之間沒(méi)有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題：模糊分類(lèi)問(wèn)題—已知若干個(gè)相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個(gè)確定事物用哪一個(gè)模糊概念來(lái)反映更合理準(zhǔn)確；模糊相似選擇 —按某種性質(zhì)對(duì)一組事物或?qū)ο笈判蚴且活?lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，但是用來(lái)比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性；模糊聚類(lèi)分析—根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來(lái)確定其分類(lèi)關(guān)系 ；模糊層次分析法—兩兩比較指標(biāo)的確定；模糊綜合評(píng)判—綜合評(píng)判就是對(duì)受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€(gè)總的評(píng)價(jià)，如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等，都屬于綜合評(píng)判問(wèn)題。由于從多方面對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果 。

時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列—通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來(lái)研究其變化趨勢(shì)（長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)變動(dòng)、不規(guī)則變動(dòng)）

自回歸模型：一般自回歸模型AR(n)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t)僅與其以前時(shí)刻的響應(yīng)X(t-1),…， X(t-n)有關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)無(wú)關(guān) ；移動(dòng)平均模型MA(m)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t) ，與其以前任何時(shí)刻的響應(yīng)無(wú)關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)a(t-1),…,a(t-m)存在著一定的相關(guān)關(guān)系 ；自回歸移動(dòng)平均模型 ARMA(n,m)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t)，不僅與其前n個(gè)時(shí)刻的自身值有關(guān)，而且還與其前m個(gè)時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)存在一定的依存關(guān)系 。

時(shí)間序列建模的基本步驟

數(shù)據(jù)的預(yù)處理：數(shù)據(jù)的剔取及提取趨勢(shì)項(xiàng)

取n=1，擬合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型

n=n+1，擬合ARMA(2n,2n-1)模型

用F準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性。若檢驗(yàn)顯著，則轉(zhuǎn)入第2步。若檢驗(yàn)不顯著，轉(zhuǎn)入第5步。

檢查遠(yuǎn)端時(shí)刻的系數(shù)值的值是否很小，其置信區(qū)間是否包含零。若不是，則適用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信區(qū)間包含零，則擬合ARMA(2n-1,2n-2) 。

利用F準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯RMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不顯著，轉(zhuǎn)入第7步；若F值顯著，轉(zhuǎn)入第8步。

舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ，并用F準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這一過(guò)程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止

舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-1的模型ARMA(2n,m) ，并用F準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這一過(guò)程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止。

圖論方法：

最短路問(wèn)題：兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑—給出了一個(gè)連接若干個(gè)城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò)，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線 （Dijkstra算法 ）每對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）。

最小生成樹(shù)問(wèn)題：連線問(wèn)題—欲修筑連接多個(gè)城市的鐵路設(shè)計(jì)一個(gè)線路圖，使總造價(jià)最低（prim算法、Kruskal算法 ）。

圖的匹配問(wèn)題：人員分派問(wèn)題：n個(gè)工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問(wèn)能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法)。

遍歷性問(wèn)題：中國(guó)郵遞員問(wèn)題—郵遞員發(fā)送郵件時(shí)，要從郵局出發(fā)，經(jīng)過(guò)他投遞范圍內(nèi)的每條街道至少一次，然后返回郵局，但郵遞員希望選擇一條行程最短的路線

最大流問(wèn)題。

運(yùn)輸問(wèn)題：

最小費(fèi)用最大流問(wèn)題：在運(yùn)輸問(wèn)題中，人們總是希望在完成運(yùn)輸任務(wù)的同時(shí)，尋求一個(gè)使總的運(yùn)輸費(fèi)用最小的運(yùn)輸方案

在數(shù)學(xué)建模中常用的算法：

1：蒙特卡羅算法；

2：數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（常用matlab實(shí)現(xiàn)）；

3：線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃(用lingo、lingdo、matlab即可實(shí)現(xiàn))；

4：圖論算法（包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖）；

5：動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支界定；

6：最優(yōu)化理論的三大經(jīng)典算法（模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法）；

7：網(wǎng)格算法和窮舉法；

8：連續(xù)數(shù)據(jù)離散化；

9：數(shù)值分析算法；

10：圖象處理算法（常用matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)）。

備注：圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)

?來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)網(wǎng) 責(zé)任編輯：itongji