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本文作者介紹了分析思維模型：泊松分布。泊松分布是概率分布模型的一種，可以幫助我們選擇符合實際情況的概率分布去更好的預測未來。讓我們來學習一下吧~

你好，我是林驥。

在前面的 100 種分析思維模型系列文章中，曾經(jīng)介紹過正態(tài)分布、冪律分布，下面再介紹另外一種應用廣泛的概率分布模型：泊松分布。

一、為什么學習泊松分布？

概率分布就像一個工具箱，泊松分布就是工具箱里的一種工具。當我們研究一個現(xiàn)象的時候，不妨運用假設思維，先大膽假設服從某種概率分布，然后再小心求證這個假設，以便從工具箱中找適合的工具。

你只有選擇符合實際情況的概率分布，才能更好地預測未來，否則就有可能會出錯。這就好比你在釘釘子的時候，選擇的工具最好是錘子，而不是菜刀，否則就容易傷到手。

學習泊松分布的原理和運用方法，可以幫助我們從整體上把握隨機事件發(fā)生的規(guī)律，完善我們對隨機性的認識，以便做出更加準確的預測和決策，特別是提高風險防范的意識，更好地解決一些現(xiàn)實世界的問題。

比如，在購買保險的時候，很多人覺得小公司服務好，而且承諾同樣的賠償，于是選擇小的保險公司，但事實上，萬一遇到需要大額索賠的時候，有些小的保險公司是賠不出來的，其實就沒能真正起到保險的作用。

在管理水平和效率差不多的情況下，保險公司的規(guī)模越大，風險往往就越小。因此，運用概率思維，我們應該優(yōu)先考慮選擇大的保險公司進行投保，避免花冤枉錢。

二、什么是泊松分布？

泊松分布最初是由法國數(shù)學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在 1838 年提出來的，用于描述小概率事件的分布規(guī)律，比如機器故障、自然災害等，事件的發(fā)生是相互獨立的，且概率在時間或空間上是均勻分布的。

假設隨機事件發(fā)生的概率是 p，進行 n 次獨立的試驗，發(fā)生 k 次的概率為：

這個公式看起來比較復雜，但是相當優(yōu)美，而且用計算機算起來還是比較簡單的。

其中 e 是自然常數(shù)，約等于 2.718。k 為事件發(fā)生的次數(shù)，等于 0, 1, 2 ……

其中 λ 是單位時間內(nèi)平均發(fā)生的次數(shù)，當 n 很大而 p 很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，λ = n*p。

其中 ! 是數(shù)學中的階乘符號，定義 0! = 1，n! = n*(n-1)!，以此類推。比如，3! = 3*2*1 = 6。

假設一臺機器平均每小時出故障的概率是 0.03%，如果想知道接下來 10000 小時發(fā)生故障的概率，那 λ 就等于 10000*0.03% = 3 次。

當 k = 0 時，P(X = 0) 就代表接下來 10000 小時不發(fā)生故障的概率，運用上面的計算公式，計算結果約等于 5%。也就是說，這臺機器在 10000 小時內(nèi)至少發(fā)生 1 次故障的概率高達 95%。

有些機器一旦發(fā)生故障，可能事關重大，甚至涉及生命安全。比如，在高速上行駛的汽車，剎車系統(tǒng)一旦失靈，就有可能造成嚴重的交通事故。

不怕一萬，就怕萬一。所以，對于一些非常重要的機器，務必要定期進行檢查，提前預防意外事件的發(fā)生。

三、怎么運用泊松分布？

為了簡化計算的過程，我們可以借助 GPT 來計算泊松分布的概率，給 ChatGPT 發(fā)送以下指令：

對于泊松分布，假設隨機事件發(fā)生的概率是 0.03%，進行 10000 次獨立的試驗，至少發(fā)生 1 次的概率是多少？

考慮到 GPT 不擅長數(shù)學計算，所以我接著讓它寫一段 Python 代碼來實現(xiàn)快速計算，并檢驗上面回答的正確性。

運用上面的 Python 代碼，得到的結果確實是 0.9502，即 95.02%，驗證了 ChatGPT 回答的正確性。

有了 Python 代碼之后，我們還可以舉一反三，修改事件發(fā)生的概率和獨立試驗的次數(shù)，這樣就能快速計算不同條件下的概率分布。

為了更加清晰地展現(xiàn)泊松分布的變化，我們繼續(xù)讓 GPT 用 Python 繪制概率分布的曲線，稍加修改之后的代碼如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import factorial

# 設置中文顯示字體
plt.rcParams[‘font.sans-serif’] = [‘SimHei’]

# 定義泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)
def poisson_pmf(k, lamb):
return (lamb**k * np.exp(-lamb)) / factorial(k)

# 定義參數(shù)
p = 0.0003 # 事件發(fā)生的概率
n = 10000 # 獨立試驗的次數(shù)
lamb = n * p

# 生成 x 坐標軸的取值范圍
x = np.arange(0, 11)

# 計算對應的泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)值
pmf = poisson_pmf(x, lamb)

# 放大圖表
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 繪制概率分布曲線
plt.plot(x, pmf)
plt.xlabel(‘次數(shù)’, fontdict={‘fontsize’: 16})
plt.ylabel(‘概率’, fontdict={‘fontsize’: 16})
plt.title(“進行 %d 次獨立試驗的概率分布” % n, fontdict={‘fontsize’: 20})
plt.grid(True)

# 調(diào)整刻度數(shù)字的字體大小
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)

plt.show()

修改其中的 n 值，運行得到不同的概率分布曲線，從圖中可以看出，隨著試驗次數(shù)的增加，泊松分布曲線越來越接近于正態(tài)分布曲線。

泊松分布特別適用于預測事件發(fā)生的概率。比如，通過對歷史數(shù)據(jù)進行分析，我們可以預測某個時間段內(nèi)到達某個地點的乘客數(shù)量，也可以檢驗某個機器的故障率是否符合預期，還可以估計某個地區(qū)在特定時間內(nèi)發(fā)生車輛事故的概率，從而為保險費率的制定提供依據(jù)。

四、最后的話

在泊松分布出現(xiàn)之前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計其實是兩個互不相關的學科。概率論主要研究未發(fā)生的隨機事件，也就是根據(jù)已知的模型和參數(shù)，預測未來的數(shù)據(jù)；而數(shù)理統(tǒng)計則主要是用來描述已經(jīng)發(fā)生的現(xiàn)實。

自從泊松分布出現(xiàn)之后，概率論與數(shù)理統(tǒng)計產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系，這讓統(tǒng)計學變得更加強大，我們可以根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，去推測未知的世界，還原世界本來的樣子，而且可以被驗證。

很多人判定一件事發(fā)生的概率總是存在很大的誤差，導致決策失誤，損失慘重，其中一個重要的原因就是靠直覺，而不是靠嚴密的數(shù)學邏輯和推導。

通過學習和運用泊松分布，我們可以改變看待世界的方式，改變自己做決策的方式，甚至改變自己的心性，用更加理性的思維去解決問題。

比如，由于世界的不確定性和隨機事件的存在，我們在準備資源時，只達到平均值是遠遠不夠的，還需要準備一些冗余量。如果一個人忙得沒有時間進行思考和休息，就難以擺脫「窮忙」的狀態(tài)。

在《稀缺》這本書中，作者指出，當一個人處于稀缺的狀態(tài)時，會產(chǎn)生很多危害，包括：認知能力下降、只關注眼前緊急的事、忽視真正重要的事、透支未來的資源、做出錯誤的決策、陷入惡性的循環(huán)等。

記?。悍彩露家浀媒o自己留有余地，因為生活中難免會發(fā)生一些意外的隨機事件。只有預留一定的機動時間，才能避免打亂正常的生活節(jié)奏，讓自己的生活多一份從容。就好比在開車的時候，與前車保持一定的距離，這樣才能更加安全地到達目的地。

總之，泊松分布是一種重要的概率分布模型，具有廣泛的應用領域。通過學習和運用泊松分布，我們可以更好地理解和分析隨機事件發(fā)生的規(guī)律，并用來預測未來發(fā)生的概率，進而幫助我們更好地用數(shù)據(jù)化解難題，讓分析更加有效。