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數學歸納法只有簡單的三個步驟，但它是一種強大的邏輯推理工具，能幫助我們更加科學地證明一個命題。

有「數學王子」之稱的數學家高斯，從小就展現出非凡的數學天賦。

據說高斯在 8 歲的時候，老師出了一道題目：從 1 加到 100 的總和是多少？

老師本想用這道題，讓全班的同學安靜一節(jié)課的時間，卻沒想到高斯只用了不到 2 分鐘的時間，就說出了答案：5050。

如果你學過數學歸納法，就會明白只要方法運用得當，其實類似上面這樣的題目并不難。

下面介紹 100 種分析思維模型的第 99 種：數學歸納法，它是一種強大的邏輯推理工具，能幫助我們更加科學地證明一個命題。

1. 為什么學習數學歸納法？

學習數學歸納法具有重要意義，主要原因包括：

① 證明結論：通過學習數學歸納法，我們可以學會如何用數學的方法來證明結論，保障結論的正確性。

② 培養(yǎng)思維：數學歸納法要求我們按照一定的邏輯順序進行推理和證明，因此可以培養(yǎng)和提升我們的邏輯思維能力。

③ 解決問題：數學歸納法不僅被廣泛用于解決數學問題，而且被廣泛用于解決各種計算機科學的問題，因為許多算法都涉及循環(huán)和遞歸的策略。

2. 什么是數學歸納法？

數學歸納法是一種數學證明的邏輯推理方法，它包括 3 個步驟：奠基、遞推、結論。

① 奠基：證明當 n 取某個初始值（通常是 0 或 1）時命題成立。

② 遞推：假設當 n = k 時命題成立，證明 n = k + 1 時命題也成立。

③ 結論：命題對所有自然數 n 都成立。

例如，要證明：1 + 2 + 3 + …… + n = n * (n + 1)/2，采用數學歸納法的步驟如下：

① 奠基：當 n = 1 時，1 = 1 * (1 + 1)/2，等式成立。

② 遞推：假設當 n = k 時等式成立，即：1 + 2 + 3 + …… + k = k * (k + 1)/2則當 n = k + 1 時，有：1 + 2 + 3 + …… + k + (k + 1) = k *(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2)/2也就是說，此時等式也成立。

③ 結論：上面的等式對所有大于或等于 1 的自然數都成立。

注意：數據歸納法的前 2 個步驟，也就是「奠基」和「遞推」，二者缺一不可，否則就無法得出可靠的「結論」。

數學歸納法本質上屬于演繹推理，而不是歸納總結，因為歸納總結通常無法排除某些例外情況，而數學歸納法則可以做到完全沒有例外發(fā)生。

比如，小明家里養(yǎng)過 2 只狗，這 2 只狗恰好都很溫順，于是他便認為所有的狗都很溫順。直到他遇到一只兇狠的狗，甚至被咬傷之后，他才發(fā)現自己原來的想法不對。

很顯然，他原來的歸納推理太過草率，在得到結論之前，沒有考慮到可能存在的例外情況。

3. 怎么運用數學歸納法？

在日常工作和生活中，我們也可以嘗試運用數學歸納法。

比如，假設有一個不透明的袋子，我們要證明其中裝的全部都是大米。按照一般的歸納法，如果從袋子中摸出來的第 1 粒是大米，第 2 粒是大米，甚至第 3、4、5 …… 100 粒都是大米，此時我們就會猜想：袋子中的東西，是不是全部都是大米？

要檢驗這個猜想是否正確，通常要把袋里的東西全部摸出來，才能真相大白。但是，假設大米多到一個人數不過來，此時不放先把大米分成 n 個小袋，讓 n 個人分別去確認每個小袋中是否全部都是大米，然后運用數學歸納法。

① 奠基：第 1 個小袋全都是大米；

② 遞推：假設第 k 個小袋全都是大米，推導出第 k + 1 個小袋也都是大米。

③ 結論：袋子中裝的全都是大米。

運用數學歸納法，就像是玩多米諾骨牌，你想要讓最后一塊骨牌倒下，但現在動不了它，不過沒關系，你只要一點一點地往前找，找出第一塊骨牌，把它推倒，后面的就會跟著倒下來。

假設你負責一個大型項目，其中包含多個任務，每個任務都必須在前一個任務完成之后才能開始，此時也可以運用數學歸納法。

① 奠基：從第一個小任務開始，比如做一份項目計劃書的草稿；

② 遞推：假設完成第 k 個任務，推導出第 k + 1 個任務也能完成。比如把目標分解下去，確保每個人都能按期完成目標之后，項目的整體目標也能完成。

③ 結論：項目將會按期完成。

需要注意的是，上面這個例子其實并不是嚴格意義上的數學證明，而是為了體現一種邏輯推理的過程，幫助你更好地理解數學歸納法的思想。

在實際工作和生活中，我們無法僅用數學歸納法來證明項目必將大獲成功，也無法僅用數學歸納法來證明一個袋子中裝的全部都是大米，但是我們可以運用數學歸納法的思考模式來分析問題，從而提升我們的邏輯思維和解決問題的能力。

最后的話

對于數學歸納法，很多人通常會把注意力放在第 ② 步：遞推，卻很容易忽略第 ① 步：奠基，最后導致白忙一場。

就像很多人在考慮問題的時候，往往只盯著下一步，卻忘記了出發(fā)的初衷，結果發(fā)現一開始就走錯了方向，導致浪費了很多時間。

運用數學歸納法思考問題的方式，不僅能提升我們的邏輯思維能力，而且能讓我們行動的方向與目標保持一致，盡量少走一點彎路。

延伸學習：

《數學歸納法》（華羅庚，2002 年）

《邏輯思維訓練 50 講》（吳軍，2024 年）